计算机最基本的工作是处理数据，而数据的最底层表现形式是二进制，并非是我们人类熟悉的十进制。可以这么认为，计算机其实是很“笨的”，它只理解二进制数据。
今天，主要介绍计算机是怎样做加减运算的。你可能会想，加减运算？这么简单的事情，还用介绍？也许还真不是你想的那样。
计算机的运算是由CPU 完成的，而CPU 只会做加法运算，不会做减法运算，那计算机怎样完成减法工作呢？
1，二进制数
我们先来看看二进制数。
二进制数是由0，1 组成的，比如：
十进制的5，用二进制表示是 101。
十进制的7，用二进制表示是 111。
数字由正数和负数组成。为了表示正负数，计算机中就有了有符号数和无符号数之分：
无符号数：英文为 unsigned，只能表示正数。
有符号数：英文为 signed，即能表示正数，又能表示负数。
C/C++ 语言中的数字有有符号数和无符号数之分。
Java 语言所有的数字都是有符号数。
假如，我们用 4 位二进制，来表示无符号数，也就是只表示正数，能表示的范围是 0 到 15，转换关系如下表：
| 十进制数 | 二进制数 | 十进制数 | 二进制数 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 8 | 1000 |
| 1 | 0001 | 9 | 1001 |
| 2 | 0010 | 10 | 1010 |
| 3 | 0011 | 11 | 1011 |
| 4 | 0100 | 12 | 1100 |
| 5 | 0101 | 13 | 1101 |
| 6 | 0110 | 14 | 1110 |
| 7 | 0111 | 15 | 1111 |
有符号数，即要表示正数，也要表示负数。
要用二进制表示有符号数，需要用二进制的最高位来表示符号，0 表示正，1 表示负。所谓的最高位，也就是最左边那一位。
用 4 位二进制，来表示有符号数，能表示的范围是 -8 到 7，转换关系如下表：
| 十进制数 | 二进制数 | 十进制数 | 二进制数 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | -8 | 1000 |
| 1 | 0001 | -1 | 1001 |
| 2 | 0010 | -2 | 1010 |
| 3 | 0011 | -3 | 1011 |
| 4 | 0100 | -4 | 1100 |
| 5 | 0101 | -5 | 1101 |
| 6 | 0110 | -6 | 1110 |
| 7 | 0111 | -7 | 1111 |
上表中的最高位的符号位，已标红。
要注意，对于有符号的4 位二进制 —-
1000不是-0，而是-8。
可以总结出，对于 N 位的二进制数：
无论是表示有符号数还是无符号数，都能表示 2^N 个数字。
若用于表示无符号数，则能表示的范围是 [0, 2^N - 1]。
若用于表示有符号数，则能表示的范围是 [-2^(N-1), 2^(N-1) - 1]。
需要注意，在有符号数中，对于符号位是 1，后面 N-1 位全是 0，这种情况表示的是 -2^(N-1) (也就是所能表示的最小值)，而不是 -0。
实际上是将 -0 这种情况解释成了最小值，否则就会出现 +0 和 -0 两个0。
2，二进制原码
上面介绍到的二进制就是原码形式。
原码就是除符号位外的其他位，保存该二进制数的绝对值。
用原码进行加法计算
计算机中的数字运算都会先转成二进制数再进行计算。
我们用原码来计算加法，用4 位二进制数来计算 3 + 2，过程如下：
可以看到，用原码计算加法是没有问题的。
用原码进行减法计算
我们再用原码来计算减法，因为CPU 只会计算加法，所以计算减法时，会将减法转换成加法。
比如，用4 位二进制数来计算计算 3 - 2，会将其转换成 3 + (-2)， 过程如下：
可以看到 3-2 计算出来的结果是 -5，显然是错误的。
所以，用二进制原码来计算减法是行不通的。实际上，计算机计算减法用的是补码。
在介绍补码之前，我们先来看下什么是溢出。
3，数字溢出
计算机中数字的表示是需要内存空间的，不同类型的数字所能占用的空间是不一样的。
比如，在Java 语言中 short 类型占用 2 个字节，int 类型占用 4 个字节。
一个字节等于 8 位。
既然空间大小是有限制的，所以计算机中的数字也是有范围的，即上限和下限，如果数字超出限制，就会产生溢出。超出上限叫上溢出，超出下限叫下溢出。而溢出的部分会直接被舍去。
就像我们在上文中介绍的，对于 N 位二进制有符号整数，所能表示的范围是 [-2^(N-1), 2^(N-1) - 1]。
由于溢出的部分会被舍去，那么最大值加1，将发生上溢出，变为最小值；最小值减1，将发生下溢出，变为最大值。
我们用Java 中的 int 类型来验证，Java 中 int 类型的最大、最小值分别是：
最大值：Integer.MAX_VALUE，是 2147483647。
最小值：Integer.MIN_VALUE，是 -2147483648。
用下面代码验证：
1 | System.out.println(Integer.MAX_VALUE + 1 == Integer.MIN_VALUE); // true |
这两行代码的输出均为 true，说明最大值加 1 变为最小值，最小值减 1 变为最大值。
所以，在计算机中，只要一个整数的类型确定了，那么它所能占用的内存空间大小也就确定了，从而它所能表示的数字范围也就确定了。那么不管给这个整数加多大的数字，或者减多大的数字，最终的结果都只能在这个范围内旋转。
就像表盘一样，当表针走过最大值的时候，就变成了最小值。
同样，这也等同于数学中的取余运算。只要分母确定了，不管分子是多大，或者多小的数字，最终的结果也都是在一个确定的范围之内。
比如我们对十进制 5 进行取余计算，那么最终的结果都是在 [0, 4] 范围之内，如下：
0 % 5 = 02 % 5 = 2397 % 5 = 299999 % 5 = 4
可以总结出，对数字 N 进行取余，N >= 2 且为整数，那么结果都在 [0, N-1] 范围之内。
4，二进制反码与补码
知道了溢出，就可以介绍CPU 如何计算减法了。CPU 的减法运算使用了二进制补码，补码实际上就是采用了溢出的原理。
我们直接给出反码与补码的定义：
- 反码定义：正数的反码等于其原码，负数的反码是其原码除符号位外，按位取反。
- 补码定义：正数的补码等于其原码，负数的补码是其反码加1。
比如下面的几个数字：
| 十进制数 | 2 | 3 | -2 | -3 |
|---|---|---|---|---|
| 二进制原码 | 0010 | 0011 | 1 010 |
1 101 |
| 二进制反码 | 0010 | 0011 | 1 101 |
1 010 |
| 二进制补码 | 0010 | 0011 | 1 110 |
1 011 |
我们用 4 位二进制补码来计算 3+(-2)，如下：
最高位的 1 发生上溢出，直接被舍去，所以结果是正确的。
所以，要记住，真实的计算机中的二进制是用补码表示的，而不是原码。
5，总结
本篇文章主要介绍了：
CPU 只能做加法，不能做减法，减法要转成加法做计算。
二进制数字有三种表示方式：
- 原码：除符号位外的其他位，保存该二进制数的绝对值。
- 反码：正数的反码等于其原码，负数的反码是其原码除符号位外，按位取反。
- 补码：正数的补码等于其原码，负数的补码是其反码加1。
计算机中的数字采用二进制补码表示，而不是原码表示。
- 补码采用了溢出的原理。
计算机中的数字是有范围限制的，超出限制会发生溢出。
- 超出上限叫做上溢出。最大值加1会发生上溢出，变为最小值。
- 超出下限叫做下溢出。最小值减1会发生下溢出，变为最大值。
