2022-06-02

浮点数怎么用二进制表示

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对于浮点数在计算机中是怎么用二进制表示的，这个知识点让我学了很久，很多资料讲的特别抽象难懂，所以今天我想用自己的方式讲一讲。
学过《计算机组成原理》或者类似《计算机系统》这些课程的小伙伴们应该都知道，浮点数在计算机中的存储方式遵循IEEE 754 浮点数计数标准，

IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE 754） 是20世纪80年代以来最广泛使用的浮点数运算标准，为许多CPU与浮点运算器所采用。这个标准定义了表示浮点数的格式（包括负零-0）与反常值（denormal number），一些特殊数值（（无穷（Inf）与非数值（NaN）），以及这些数值的“浮点数运算符”；它也指明了四种数值舍入规则和五种例外状况（包括例外发生的时机与处理方式）。

IEEE 754规定了四种表示浮点数值的方式：单精确度（32位）、双精确度（64位）、延伸单精确度（43比特以上，很少使用）与延伸双精确度（79比特以上，通常以80位实现）。只有32位模式有强制要求，其他都是选择性的。大部分编程语言都提供了IEEE浮点数格式与算术，但有些将其列为非必需的。例如，IEEE 754问世之前就有的C语言，现在包括了IEEE算术，但不算作强制要求（C语言的float通常是指IEEE单精确度，而double是指双精确度）。

该标准的全称为IEEE二进制浮点数算术标准（ANSI/IEEE Std 754-1985），又称IEC 60559:1989，微处理器系统的二进制浮点数算术（本来的编号是IEC 559:1989）[1]。后来还有“与基数无关的浮点数”的“IEEE 854-1987标准”，有规定基数为2跟10的状况。现在最新标准是“ISO/IEC/IEEE FDIS 60559:2010”。

在六、七十年代，各家计算机公司的各个型号的计算机，有着千差万别的浮点数表示，却没有一个业界通用的标准。这给数据交换、计算机协同工作造成了极大不便。IEEE的浮点数专业小组于七十年代末期开始酝酿浮点数的标准。在1980年，英特尔公司就推出了单片的8087浮点数协处理器，其浮点数表示法及定义的运算具有足够的合理性、先进性，被IEEE采用作为浮点数的标准，于1985年发布。而在此前，这一标准的内容已在八十年代初期被各计算机公司广泛采用，成了事实上的业界工业标准。加州大学伯克利分校的数值计算与计算机科学教授威廉·卡韩被誉为“浮点数之父”。

IEEE 754 浮点数可以表示为：

图片采用尾数 + 阶码的编码方式，更通俗一点说，就是类似于数学课本上所学的科学计数法表示方式：有效数字 + 指数位！
因此，只要给出：符号（S）、阶码部分（E）、尾数部分（M） 这三个维度的信息，一个浮点数的表示就完全确定下来了，所以float和double这两种类型的浮点数在计算机中的存储结构如下：

1、符号部分(S)

0-正

1-负

2、阶码部分（E）（指数部分）：

对于float型浮点数，指数部分8位，考虑可正可负，因此可以表示的指数范围为-127 ~ 128
对于double型浮点数，指数部分11位，考虑可正可负，因此可以表示的指数范围为-1023 ~ 1024

3、尾数部分（M）：

浮点数的精度就是由尾数部分决定的

对于float型浮点数，尾数部分23位，换算成十进制就是 2^23=8388608，所以十进制精度只有6 ~ 7位；
对于double型浮点数，尾数部分52位，换算成十进制就是 2^52 = 4503599627370496，所以十进制精度只有15 ~ 16位
所以，浮点数交给计算机存储的时候，可能会有精度丢失问题！！！因此使用时需要格外小心，如果真因为这一块出了bug，定位问题还是非常艰难的，所以预防工作要做好。

我们先来举个例子详细说明一下浮点数怎么转换成二进制数

比如：把十进制小数0.875转换成二进制，具体怎么操作？
可以分几大步走：
第一：以小数为界限划分成整数部分和小数部分
第二：我们开始来整数部分的转换，这里的整数是为十进制数，转换成二进制数的方式是除以二取余数，这里的整数部分为零，那转换成二进制数也为零。
第三：小数部分的转换，小数部分的转换的方式是乘二取整数，如下图

第四：将结果合并，就可以得到这个结果为0.111

所以该结果按照上一节所述的尾数 + 阶码的计算机计数方式，则可以表示为：

符号位：0
阶码（E）部分：若以float为例，应为 127 +（-1）= 126，因此二进制表示为：01111110
尾数部分（M）：若以float为例，应为23位，因此尾部补齐后为11000000000000000000000。

因此最终的总结果为（以32位精度float表示）：

1	00111111011000000000000000000000

C语言打印浮点数的二进制表示:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/*
num是要展示的float数,bin是保存所有二进制位的数组
*/
void getFloatBin(float num,char bin[])
{
    int t = 1;//用来按位与操作
    int *f = (int*)(&num);//将float的解释成int，即float的地址转成int*
    for(int i=0;i<32;i++)
    {
    //从最高位开始按位与，如果为1，则bin[i]=1，如果为0，则bin[i]=0
    //这里没有将bin存成字符，而是数字1 0
        bin[i] = (*f)&(t<<31-i)?1:0;
    }
}
int main()
{
	float test = 100;
    char c[32];
    printf("测试float数为:%f\n",test);
    printf("二进制表示为:");
    getFloatBin(test,c);
    for(int i=0;i<32;i++)
    {
        printf("%d",c[i]);
        if(i==0)
            printf(", ");
        if(i==8)
            printf(", ");
    }
}

注：我们一般用的x86是小端模式，就是高地址放数据的高位部分，详情可查阅资料。

以下为几个浮点数二进制存储表示:

注意：形如2^[3]表示2的3次方

实例一 、 38414.4 的IEEE浮点数表示法(double):

double型的指数域有11位，所以偏置值为 2^[11-1]-1 = 1023
38414.4 = 1001011000001110. 0110011001100110011001100110011001101 = 1. 00101100000111001100110011001100110011001100110011012[15]
//0.4=0.50+0.251+0.1251+0.0625*0+……没完没了,但小数域只需52位，整数部分已经有了15位，故小数部分只需取37位.
指数域 = (15+1023)B = 1000 0001 110
小数域 = 0010 1100 0001 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1101
最终表示:
0 1000 0001 110 0010 1100 0001 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1101
符号指数域 (11) 小数域(52)
格式化为:
01000000 11100010 11000001 11001100 11001100 11001100 11001100 11001101

实例二、 234.5 的IEEE浮点数表示法(double):

double型的指数域有11位，所以偏置值为 2^[11-1]-1 = 1023
234.5 = 11101010.1 = (1. 11010101)*2[7]
指数域 = (7+1023)B = 1000 0000 110
小数域 = 1101 0101 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
//小数域需要52位，但11010101只有8位，不足就后面补0.
最终表示:
0 1000 0000 110 1101 0101 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
符号指数域(11) 小数域(52)
格式化为:
01000000 01101101 01010000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000

实例三 、3490593.0 的IEEE浮点数表示法(float):

float型的指数域有8位，所以偏置值为 2^[8-1]-1 = 127
3490593.0 = 1101010100001100100001.0 = 1. 1010101000011001000010*2[21]
指数域 = (21+127)B = 1001 0100
小数域 = 1010 1010 0001 1001 0000 100
最终表示:
0 1001 0100 10101010000110010000100
符号指数域(8) 小数域(23)
格式化为:
01001010 01010101 00001100 10000100