简单回顾一下，简单来说，用定点数表示数字时，会约定小数点的位置固定不变，整数部分和小数部分分别转换为二进制，就是定点数的结果。
但用定点数表示小数时，存在数值范围、精度范围有限的缺点，所以大多数计算机并没有选择使用定点数表示小数，我们一般使用「浮点数」来表示小数。
这篇文章，我们就来详细看一下浮点数到底是如何表示小数的，以及浮点数的的范围和精度有多大。
什么是浮点数？
首先，我们需要理解什么是浮点数？
之前我们学习了定点数，其中「定点」指的是约定小数点位置固定不变。那浮点数的「浮点」就是指，其小数点的位置是可以是漂浮不定的。
这怎么理解呢？
其实，浮点数是采用科学计数法的方式来表示的，例如十进制小数 8.345，用科学计数法表示，可以有多种方式：
1 | 8.345 = 8.345 * 10^0 |
看到了吗？用这种科学计数法的方式表示小数时，小数点的位置就变得「漂浮不定」了，这就是相对于定点数，浮点数名字的由来。
浮点数如何表示数字？
我们已经知道，浮点数是采用科学计数法来表示一个数字的，它的格式可以写成这样：
V = (-1)^S * M * R^E
其中各个变量的含义如下：
- S：符号位，取值 0 或 1，决定一个数字的符号，0 表示正，1 表示负
- M：尾数，用小数表示，例如前面所看到的 8.345 * 10^0，8.345 就是尾数
- R：基数，表示十进制数 R 就是 10，表示二进制数 R 就是 2
- E：指数，用整数表示，例如前面看到的 10^-1，-1 即是指数
如果我们要在计算机中，用浮点数表示一个数字，只需要确认这几个变量即可。
假设现在我们用 32 bit 表示一个浮点数，把以上变量按照一定规则，填充到这些 bit 上就可以了：
假设我们定义如下规则来填充这些 bit：
- 符号位 S 占 1 bit
- 指数 E 占 10 bit
- 尾数 M 占 21 bit
按照这个规则，将十进制数 25.125 转换为浮点数，转换过程就是这样的（D代表十进制，B代表二进制）：
1、整数部分：25(D) = 11001(B)
2、小数部分：0.125(D) = 0.001(B)
3、用二进制科学计数法表示：25.125(D) = 11001.001(B) = 1.1001001 * 2^4(B)
所以符号位 S = 0，尾数 M = 1.001001(B)，指数 E = 4(D) = 100(B)。
按照上面定义的规则，填充到 32 bit 上，就是这样：
浮点数的结果就出来了，是不是很简单？
但这里有个问题，我们刚才定义的规则，符号位 S 占 1 bit，指数位 E 占 10 bit，尾数 M 占 21 bit，这个规则是我们拍脑袋随便定义出来的。
如果你也想定一个新规则，例如符号位 S 占 1 bit，指数位 E 这次占 5 bit，尾数 M 占 25 bit，是否也可以？当然可以。
按这个规则来，那浮点数表示出来就是这样：
我们可以看到，指数和尾数分配的位数不同，会产生以下情况：
1、指数位越多，尾数位则越少，其表示的范围越大，但精度就会变差，反之，指数位越少，尾数位则越多，表示的范围越小，但精度就会变好
2、一个数字的浮点数格式，会因为定义的规则不同，得到的结果也不同，表示的范围和精度也有差异
早期人们提出浮点数定义时，就是这样的情况，当时有很多计算机厂商，例如IBM、微软等，每个计算机厂商会定义自己的浮点数规则，不同厂商对同一个数表示出的浮点数是不一样的。
这就会导致，一个程序在不同厂商下的计算机中做浮点数运算时，需要先转换成这个厂商规定的浮点数格式，才能再计算，这也必然加重了计算的成本。
那怎么解决这个问题呢？业界迫切需要一个统一的浮点数标准。
浮点数标准
直到1985年，IEEE 组织推出了浮点数标准，就是我们经常听到的 IEEE754 浮点数标准，这个标准统一了浮点数的表示形式，并提供了 2 种浮点格式：
- 单精度浮点数 float：32 位，符号位 S 占 1 bit，指数 E 占 8 bit，尾数 M 占 23 bit
- 双精度浮点数 float：64 位，符号位 S 占 1 bit，指数 E 占 11 bit，尾数 M 占 52 bit
为了使其表示的数字范围、精度最大化，浮点数标准还对指数和尾数进行了规定：
1、尾数 M 的第一位总是 1（因为 1 <= M < 2），因此这个 1 可以省略不写，它是个隐藏位，这样单精度 23 位尾数可以表示了 24 位有效数字，双精度 52 位尾数可以表示 53 位有效数字
2、指数 E 是个无符号整数，表示 float 时，一共占 8 bit，所以它的取值范围为 0 ~ 255。但因为指数可以是负的，所以规定在存入 E 时在它原本的值加上一个中间数 127，这样 E 的取值范围为 -127 ~ 128。表示 double 时，一共占 11 bit，存入 E 时加上中间数 1023，这样取值范围为 -1023 ~ 1024。
除了规定尾数和指数位，还做了以下规定：
- 指数 E 非全 0 且非全 1：规格化数字，按上面的规则正常计算
- 指数 E 全 0，尾数非 0：非规格化数，尾数隐藏位不再是 1，而是 0(M = 0.xxxxx)，这样可以表示 0 和很小的数
- 指数 E 全 1，尾数全 0：正无穷大/负无穷大（正负取决于 S 符号位）
- 指数 E 全 1，尾数非 0：NaN(Not a Number)
标准浮点数的表示
有了这个统一的浮点数标准，我们再把 25.125 转换为标准的 float 浮点数：
1、整数部分：25(D) = 11001(B)
2、小数部分：0.125(D) = 0.001(B)
3、用二进制科学计数法表示：25.125(D) = 11001.001(B) = 1.1001001 * 2^4(B)
所以 S = 0，尾数 M = 1.001001 = 001001(去掉1，隐藏位)，指数 E = 4 + 127(中间数) = 135(D) = 10000111(B)。填充到 32 bit 中，如下：
这就是标准 32 位浮点数的结果。
如果用 double 表示，和这个规则类似，指数位 E 用 11 bit 填充，尾数位 M 用 52 bit 填充即可。
浮点数为什么有精度损失？
我们再来看一下，平时经常听到的浮点数会有精度损失的情况是怎么回事？
如果我们现在想用浮点数表示 0.2，它的结果会是多少呢？
0.2 转换为二进制数的过程为，不断乘以 2，直到不存在小数为止，在这个计算过程中，得到的整数部分从上到下排列就是二进制的结果。
1 | 0.2 * 2 = 0.4 -> 0 |
所以 0.2(D) = 0.00110…(B)。
因为十进制的 0.2 无法精确转换成二进制小数，而计算机在表示一个数字时，宽度是有限的，无限循环的小数存储在计算机时，只能被截断，所以就会导致小数精度发生损失的情况。
在浮点数的结构和运算过程中可知，有效精度位和运算过程中的规格化和舍入处理可知，浮点数的运算并不一定精确而是存在误差。因此在Java中对于浮点数进行运算需要能够接受其误差，不能接受其误差可使用Decimal类来进行运算。另外，切忌对浮点数结果进行等值判断，因为该结果存在误差。
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